التوجيهي · رياضيات · التكامل
تطبيقات التكامل: ورقة بصيغة الامتحان الوطني
ورقة تكامل للصف 12، تُحلّ في 90 دقيقة
أ. كريم فؤاد
مدرسة ب
ورقة من 6 أسئلة على مساحة المنطقة بين منحنيين وحجم الجسم الدوراني، مرتّبة بترتيب الامتحان الوطني وبتوزيع علاماته. الطالب الذي ينهيها يكون قد رأى كل صيغة سؤال يُرجَّح أن تأتيه.
هذه الصفحة هي بالضبط ما سيراه معلّم نشر عمله. المعلّم وحده غير حقيقي بعد.
ماذا يفعل الطالب؟
- 1
يقرأ الورقة كاملة أولاً
الأسئلة مرتّبة من الأقصر إلى الأطول، والعلامة مكتوبة إلى جانب كل سؤال، فيقسّم الطالب وقته قبل أن يمسك القلم.
- 2
يرسم قبل أن يكامل
كل سؤال مساحة يبدأ برسم تقريبي للمنطقة. المنطقة التي لم تُرسم تُحسب غالباً بحدود مقلوبة أو ناقصة.
- 3
يجد نقاط التقاطع بنفسه
حدود التكامل غير معطاة في أربعة من الأسئلة الستة، بل تُستخرج بحلّ معادلة قبل أن يبدأ التكامل.
- 4
يكتب الخطوات لا الناتج وحده
توزيع العلامات مطبوع على الورقة: علامة للتكامل الصحيح، وعلامة للحدود الصحيحة، وعلامة للناتج. الطالب يرى أين تُفقد العلامة قبل أن يفقدها.
- 5
يراجع الإشارة
المساحة لا تكون سالبة. أيّ ناتج سالب في سؤال مساحة إشارة إلى ترتيب مقلوب أو إلى فترة كان يجب أن تُقسَّم.
ما بداخله
- 6 أسئلة بترتيب الامتحان الوطني وتوزيع علاماته
- إجابة نموذجية موزّعة العلامات خطوةً خطوة
- رسم للمنطقة مرفق بكل سؤال مساحة
- سؤالان على الحجم الدوراني حول محورين مختلفين
النتاجات
يحسب مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيين بعد أن يجد نقاط التقاطع بنفسه.
يقسّم فترة التكامل عند النقطة التي تتبادل فيها الدالّتان الموقع، ويجمع الجزأين.
يكوّن تكامل الحجم الدوراني حول محور السينات وحول محور الصادات، ويميّز متى يكامل بالنسبة إلى y.
على ماذا ركّز المعلّم؟
الطالب يعرف كيف يكامل. الذي يفقده في الامتحان هو الحدّان: من أين إلى أين. فبنيت الورقة على هذا وحده.
استراتيجيات التدريس
- الرسم شرط قبل الحساب لا زينة بعده
- حدود غير معطاة في معظم الأسئلة
- توزيع العلامات مكشوف للطالب
- ترتيب الأسئلة من الأقصر إلى الأطول
اختار أن يحذف حدود التكامل من أربعة أسئلة، ورفض الصيغة الشائعة التي تعطي الحدّين داخل نصّ السؤال. السؤال الذي يعطي الحدّين يقيس مهارة التكامل وحدها، وهي المهارة التي لا يخسر فيها طلابه. الخسارة تقع قبلها، عند تحديد المنطقة.
أسئلة من داخله
- 1أوجد مساحة المنطقة المحصورة بين المنحنى y = x² والمستقيم y = x + 2.
- 2تدور المنطقة المحصورة بين المنحنى y = √x والمحور السيني من x = 0 إلى x = 4 دورة كاملة حول المحور السيني. أوجد حجم الجسم الناتج.
- 3أوجد مساحة المنطقة المحصورة بين المنحنى y = x³ − x والمحور السيني.
معلومات المنهاج
- الصف
- التوجيهي
- المبحث
- رياضيات
- الوحدة
- التكامل
- دُرّس في
- الأردن
أين يقع هذا الدرس في المنهاج
الدرس نفسه موجود في مناهج هذه الدول. الصفحة واحدة، والمسارات إليها خمسة.
متى تستعمله
الشرح
مساحة المنطقة بين منحنيين هي تكامل الفرق بينهما، أي الدالّة العليا ناقص الدالّة السفلى، على الفترة المحصورة بين نقطتي التقاطع. ونقطتا التقاطع تأتيان من حلّ المعادلة التي تتساوى عندها الدالّتان، ولهذا يبدأ العمل بمعادلة لا بتكامل. فإن تبادلت الدالّتان الموقع داخل الفترة، طرح التكامل الواحد إحدى المساحتين من الأخرى وأعطى عدداً أصغر من المساحة الحقيقية، والعلاج أن تُقسَّم الفترة عند نقطة التبادل ويُجمع الجزءان. أمّا حجم الجسم الدوراني حول المحور السيني فهو تكامل π y² بالنسبة إلى x، لا تكامل π y. المربّع ليس تفصيلاً في القاعدة، بل هو مساحة المقطع الدائري الذي يدور: نصف قطره y ومساحته π y².
أخطاء شائعة يلتقطها
ما ينتج عن هذه الصيغة مساحة مضروبة في π، لا حجماً. اسأل الطالب عن الوحدة: تكامل y dx يعطي وحدات مربّعة، والحجم بوحدات مكعّبة. ثم اربط y² بمساحة الدائرة π نق² التي يمسحها الدوران.
المنحنى يعبر المحور عند 0، فالجزء الواقع تحته يعطي تكاملاً سالباً يلغي الجزء الذي فوقه. المساحة موجودة، والتكامل هو الذي انعدم. تُقسَّم الفترة عند 0 وتُجمع القيمتان المطلقتان. والقاعدة العملية أنّ مساحة تساوي صفراً على ورقة امتحان ليست إجابة، بل إشارة إلى جذر لم يُبحث عنه.
الحدّان مكتوبان بالمتغيّر x، فإذا تغيّر المتغيّر وجب أن يتغيّرا معه: 0 تصير 1 و 2 تصير 5. والبديل أن يعود الطالب إلى x قبل التعويض بالحدود، وهو أطول لكنه أقلّ خطراً تحت ضغط الوقت.